จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ชนิด
จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1 เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้
1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวน ก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์
2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ-1
3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลง
กล่าวคือ...-5 < -4 < -3 < -2 < -1
ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ "0" )
เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับ จากหลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ ์ "0" ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ "0" แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการกล่าวถึง แต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น
จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, ... ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้
คุณสมบัติของศูนย์และหนึ่ง

จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1 เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้
1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวน ก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์
2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ-1
3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลง
กล่าวคือ...-5 < -4 < -3 < -2 < -1
เราจะเห็นว่า ...-4 < -3 < -2< -1 < 0 < 1< 2 < 3 < 4... นั้นคือ จำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ

ตัวอย่าง จงเขียนจำนวนเต็มต่อไปนี้ จากน้อยไปมาก
-8 , -2 , 0 , 2 , 5 , -10
เรียงจากน้อยไปมาก จะได้ -10 , -8 , -2 , 0 , 2 , 5

ตัวอย่าง จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ จากมากไปน้อย  7 , 8 , 6 , -8 , -7 , -6
เรียงจากมากไปน้อย จะได้    8 , 7 , 6 , -8 , -7 , -6
ข้อสังเกตุ ในการเรียงลำดับจำนวนเต็มให้เรามองแยกจำนวนออกเป็นกลุ่ม ๆ ก่อน แล้วดูตำแหน่งจำนวนในแต่ละกลุ่มเทียบกันบนเส้นจำนวน โดยที่จำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือเสมอ หรือ จำนวนที่อยู่ทางขวามือจะมีค่ามากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือเสมอ

ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ คือ ระยะทางที่จำนวนนั้น ๆ อยู่ห่างจากศูนย์ (0) บนเส้นจำนวนไม่ว่าจะอยู่ทางซ้าย หรือทางขวาของศูนย์ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ จะมีค่าเป็นบวกเสมอ กล่าวคือ

1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ 1 เท่ากับ 1

-1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ -1 เท่ากับ 1

เราจะใช้สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าสัมบูรณ์ คือ | | เช่น
| -4 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ -4 คือ 4
| 6 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ 6 คือ 6

ข้อสังเกต
1. จำนวนเต็มลบซึ่งมีค่าน้อยกว่า เมื่อเปลี่ยนเป็นค่าสัมบูรณ์แล้วจะมีค่ามากกว่า เช่น-25 < -18 แต่ | -25 | > | -18 |
2. ค่สัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบอาจมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกก็ได้ ขึ้นอยู่กับตัวเลข เช่น | -4 | > | 2 | แต่ -4 < 2
จะพบว่า จำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จะอยู่คนละข้างและห่างจาก 0 เท่ากัน อย่างเช่น
| -5 | = 5 และ | 5 | = 5 เราอาจจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า
-5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 5 และ
5 เป็นจำนวนตรงข้ามของ -5

ข้อควรทราบ
เป็นจำนวนตรงข้ามของตัวมันเอง

ในการเขียนจำนวนตรงข้าม เราสามารถกระทำได้ กล่าวคือ

จำนวนตรงข้ามของ 10 เขียนแทนด้วย -10

จำนวนตรงข้ามของ -3 เขียนแทนด้วย -(-3) แต่จำนวนตรงข้ามของ -3 คือ 3 ดังนั้น -(-3) = 3

ถ้าเราพิจารณาผลลัพธ์ของ 5 - 3 และ 5 + ( -3 ) เราจะพบว่า 5 - 3 = 2 และ5 + ( -3 ) = 2 นั้นคือ
5 - 3 = 5 + (-3)
แสดงว่า การลบจำนวนเต็มเราสามารถหาได้ในรูปของการบวก ถ้าเราสังเกต 3 และ -3 เราจะเห็นว่า จำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน จึงสรุปได้ว่า
ตัวตั้ง- ตัวลบ = ตัวตั้ง+ จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
หมายเหตุุ การเปลี่ยนรูปแบบในการลบจำนวนเต็มในรูปของการบวก
สิ่งสำคัญ คือ เราต้องมองตัวตั้งและตัวลบให้ได้ก่อนจะทำให้ง่ายต่อการเปลี่ยนรูป

การบวก – ลบจำนวนเต็ม

1. ผลบวกระหว่างจำนวนเต็มบวก 2 จำนวน หรือ จำนวนเต็มลบ 2 จำนวน จะมีค่าเท่ากับค่าบวกหรือค่าลบของผลบวกค่าสัมบูรณ์ตามลำดับ

2. ผลบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ คือ ผลต่างระหว่างค่าสัมบูรณ์ทั้งสองโดยใช้ค่าสัมบูรณ์มากกว่าเป็นตัวตั้ง แล้วใส่เครื่องหมายตามตัวมากกว่า

ตัวอย่างเช่น 5 + 4 = 9

5 + (–4) = 1

(–5) + 4 = –1

(–5) + (–4) = –9

5 – 4 = 5 + (–4) = 1

(–5) – 4 = (–5) + (–4) = –9

(–5) – (–4) = (–5) + 4 = –1

 

การคูณจำนวนเต็ม

การคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน อาศัยเรื่องผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสอง โดยมีเครื่องหมาย ดังนี้

(+) x (+) = +

(+) x (–) = –

(–) x (+) = –

(–) x (–) = +

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ของ

1. 4 x (–3) = …....…-12………… 6. (–5) x (–2) =……..…10…………

2. 4 x (–7) = ………-28……… 7. (–8) x (–1) =……...…8……….......

3. (–12) x 3 = ………-36………… 8. (–11) x (–12) =…....…132…………

4. (–8) x 4 = ………-32………… 9. (–2) x (–4) =……..…8…………

5. (–6) x (–3) = ………18………… 10. (–7) x (–6) x 2 =………84…………

การหารจำนวนเต็ม

จงหาผลหาร

1. -100 / 5 = ......-20........ 3. 8 . -8 = ......-1...... 5. 125 / -25 = .......-5 .....
2. - 42 / -6 = .....7............ 4. 15 / 5 = ......3....

ข้อสังเกต
1. จำนวนเต็มชนิดเดียวกันหารกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มบวก
2. จำนวนเต็มคนละชนิดกันหารกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มลบ

สมบัติบางประการของจำนวนเต็มบวก

1. สมบัติการสลับที่สำหรับการบวก

สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b ใดๆ จะได้ว่า a + b = b + a

2. สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ

สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b ใดๆ จะได้ว่า a • b = b • a

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการบวก

สำหรับจำนวนเต็มบวก a , b และ c ใดๆ จะได้ว่า (a + b) + c = a + (b + c)

4. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสำหรับการคูณ

สำหรับจำนวนเต็มบวก a , b และ c ใดๆ จะได้ว่า (a • b) • c = a• (b • c)

5. สมบัติการแจกแจง

สำหรับจำนวนเต็มบวกa , b และ cใดๆ จะได้ว่า a • (b + c) = (a •b) + (a • c)

6. สมบัติของหนึ่ง

สำหรับจำนวนเต็มบวก a ใดๆ จะได้ว่า 1 ´ a = a = a ´ 1